▌数字特性

掌握一些最基本的数字特性规律，有利于我们迅速的解题。（下列规律仅限自然数内讨论）

（一）奇偶运算基本法则

【基础】

奇数±奇数=偶数；

偶数±偶数=偶数；

偶数±奇数=奇数；

奇数±偶数=奇数。

【推论】

1.任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。

2.任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。

（二）整除判定基本法则

1.

能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性

能被2（或5）整除的数，末一位数字能被2（或5）整除；

能被4（或 25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；

能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；

一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数；

一个数被4（或 25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或 25）除得的余数；

一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数。

2.

能被3、9整除的数的数字特性

能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。

一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。

 3.

能被11整除的数的数字特性

能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。

（三）倍数关系核心判定特征

如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a是m的倍数；b是n的倍数。

如果nx＝my（m，n互质），则x是m的倍数；y是n的倍数。

如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a±b应该是m±n的倍数。

▌乘法与因式分解公式

正向乘法分配律：（a+b）c=ac+bc；

逆向乘法分配律：ac+bc=（a+b）c；（又叫“提取公因式法”）

平方差：a2-b2=（a-b）（a+b）；

完全平方和/差：（a±b）2=a2±2ab+b2；

立方和：a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

立方差：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）；

完全立方和/差：（a±b）3=a3±3(a2)b+3a(b2)±b3；

等比数列求和公式：S=a1（1-qn）/（1-q） （q≠1）；

等差数列求和公式：Sn=na1+n（n-1）d/2或Sn=n（a1+an）/2。

 

▌三角不等式

丨a+b丨≤丨a丨+丨b丨；丨a-b丨≤丨a丨+丨b丨；丨a-b丨≥丨a丨-丨b丨；-丨a丨≤a≤丨a丨；丨a丨≤b=>-b≤a≤b。

▌某些数列的前n项和

1+2+3+…+n=n（n+1）/2；

1+3+5+…+（2n-1）=n2；

2+4+6+…+（2n）=n（n+1）；

12+32+52+…+（2n-1）2=n（4n2-1）/3

13+23+33+…+n3=（n+1）2n2/4

13+33+53+…+（2n-1）3=n2（2n2-1）

1×2+2×3+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）/3