一、容斥极值的题型特征

1、 给出全集

2、 给出各个部分(也即各个集合)

3、 关注提问：一般求多集合相交的最小值

二、容斥极值的公式

多集合相交的最小值=所有集合的数据和-(集合个数-1)*全集

比如，两集合相交最小值=A+B-I

三集合相交最小值=A+B+C-2*I

四集合相交最小值=A+B+C+D-3*I

其中，A、B、C、D表示集合，I表示全集

三、例题精讲

例1、某中学在高考前夕进行了4次数学摸底考试，成绩一次比一次好;第一次得80分以上的比例是70%;第二次得80分以上的比例是75%;第三次是85%;第四次是90%;请问在四次考试中都得80分以上的学生的百分比至少是多少?

A.40%  B.30%  C.20%  D.10%

【答案】C

【解析】根据常识可以判断全集为100%;将每次考试看成是一个集合的话，第一次考试80分以上是A集合;第二次考试80分以上是B集合;第三次80分以上是C集合;第四次80分以上是D集合，那么这道题目求的就是四集合相交的最小值，直接用四集合相交的公式就可以。

四集合相交最小值=A+B+C+D-3*I=70%+75%+85%+90%-3*100%=20%

例2、某班30人，数学22人优秀，语文25人优秀，英语20人优秀，这三科全部优秀的学生至少有多少人?

A.7  B.6  C.5  D.4

【答案】A

【解析】根据题意可得全集为30;将数学、语文以及英语分别看成是A、B、C三个集合，每个集合的数据也已知;最后题目求三科全部优秀的学生至少有多少人，即求三个集合相交的最小值，直接用三集合相交的最小值。

三集合相交的最小值=A+B+C-2*I=22+25+20-2*30=7

对于容斥极值问题，大家首先要根据题型特征能够判断出此题是容斥极值问题;其次是记住容斥极值问题的公式，然后利用公式进行求解;最终确定是最终的答案。只要做到这两步，最终必定能够成功破解容斥极值问题，得出最终的答案。